【超基本】外積とはどんな存在なのか

数学

外積の定義

外積とは、「向き」と「大きさ」を持つベクトルです。また、a×bと表す事からクロス積とも呼ばれています。ベクトルなので、向きと大きさを求める上で計算方法は違います。

外積は何に使用されているの?

モーメントのつり合い(力学)を求めるのに便利

外積は数学や力学を扱うで便利です。理由の一つとして考えられるは向きと大きさを持つだけではなく3次元として扱う事が出来るからです。次元については以下を参照ください。

モーターが回転する理由が説明出来る

フレミングの左手の法則を考えてみましょう。フレミング法則とは電流、磁力、力それぞれが直角に働きます。これを利用したのがモーターです。

何処で外積を利用するの?

モーターは電流、磁力、力、回転する向きと考える要素がたくさんあります。

これを同時に計算したい、扱いと考えた結果「外積」はかなり有効です。

実は「電流と磁力が分かって、力を求めなさい。」という問題があっても対応が出来るのが外積です。

モーターはスマートフォンやパソコンを始め、周りを見渡せばモーターは使われているので「外積」はかなり便利な道具ですね。

ゲーム

ゲームを作る上で便利な道具として用いられているのが内積・外積です。

ゲームの一体何処に使われている?

答えは、ゲームのキャラクターの操作に外積はかなり有効なツールです。

キャラクターの操作や攻撃判定を始め、3Dゲームなどで外積を使用するとまた世界が違って見えるでしょう。

外積の求め方ーその1

では、さっそく外積の計算をしてみましょう。その前に外積は「向き」と「大きさ」を持つベクトルです。まずは向きを求めてみましょう。

向きの決め方

右ねじの法則を思い出してください。

ここから、指の向きに注目します。向きだけを取り出してみると

ここからさらに、

外積の向きを求める事が出来ました。

外積は

a×b=-a×b

となり内積と違い、入れ替えるだけで式が変わるのですが、外積は向きを扱う事が出来るからなのですね。

単位ベクトル

計算方法を学ぶ前に、単位ベクトルの定義を見ていきましょう。

単位ベクトルとは大きさが1になるベクトルです。

記号はeを使います。数学ではeをネイピア数ともいいます。

大きさとは、スカラー量(向き)を持たないし、マイナスという概念が存在しません。大きさとは

向き、奥行き、高さ、幅をまとめたものです。

このように表されます。

外積の求め方2

これをまず思い浮かべてください。

この間にあるxに注目してください。

外積、つまり「積」なので掛け算します。

下に下がる方を最初に書き、上に上がる方は最後に書きます。

「下は+、上はー」と覚えましょう。

外積を求める事が出来ました。

これを単位ベクトルを用いて表す事もできます。

まとめ

「外積」は計算の量が比較的に多いですが

内積・外積この二つを習得としたらきっといいことがあるはずです。

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